2. 計算方法

2.1 Laplace方程式の差分法による離散化

2.1.1 計算モデルと方程式

図2-1-1のように、3次元の計算領域の中に2個以上の電圧の異なる電極が存在するとき電圧分布が発生します。 さらに誘電体があると電圧分布に影響を与えます。
OpenSTFはこのような系における電圧分布と電界分布を計算するものです。[1][2]

図2-1-1　静電界の計算モデル

Maxwell方程式から次式が得られます。 ここでDは電束密度です。なお、点電荷は考えません。

(2-1-1)

構成方程式は以下のようになります。 ここでEは電界、εは誘電率です。

(2-1-2)

誘電率は次式のように表されます。 ここでε₀=8.854e-12[F/m]は真空の誘電率、ε_rは比誘電率です。

(2-1-3)

電界と電圧の関係式は以下のようになります。

(2-1-4)

式(2-1-2),(2-1-3),(2-1-4)を式(2-1-1)に代入すると以下の式が得られます。 これが基本となる方程式です。

(2-1-5)

2.1.2 差分法による離散化

計算領域を多数のメッシュに分割し、 節点(i,j,k) (i=0,...,Nx, j=0,...,Ny, k=0,...,Nz) の座標を (x_i, y_j, z_k)と表します。 節点の総数はN=(Nx+1)*(Ny+1)*(Nz+1)個です。
式(2-1-5)を差分法によって節点(i,j,k)で離散化すると次式が得られます。

(2-1-6)

ここでセルサイズの計算式は以下の通りです。

(2-1-7)

2.1.3 境界条件

計算領域の境界における境界条件は以下のNeumann条件を考えます。

(2-1-8)

式(2-1-8)を離散化すると以下のようになります。

(2-1-9)

2.1.4 電極条件

電極の上では電圧は既知量となります。

((i,j,k) ∈ 電極) (2-1-10)