3. 2次元モデルの計算

3.1 計算条件

2次元モデルのFDTD法の計算条件は以下の通りです。

• 計算領域のセル数: Nx=80, Ny=55（=地下40+地上15）
• 中心周波数: 600MHz
• セルサイズ: Δx=Δy=25mm
• 送信アンテナの数: Tx=56
• 送信アンテナの移動方向: X方向
• 送受信アンテナ間の距離: 5セル
• 送信アンテナと地面の距離: 5セル
• 送信アンテナの電界方向: 紙面に垂直
• 受信アンテナの電界方向: 紙面に垂直
• 給電波形: ガウスパルス/微分ガウスパルス
• 吸収境界条件: PML6層
• タイムステップ数: 309
• タイムステップ: Δt=0.05897nsec
• 地上の媒質: 空気（比誘電率ε_r=1, 導電率σ=0）

深層学習の計算条件は以下の通りです。

• ネットワークモデル: ResNet
• 最適化関数: Adam
• ミニバッチサイズ: 50

3.2 誘電率分布

地下に3個の長方形を置きます。それぞれの位置と縦横の長さをランダムにとります。
誘電率分布としては以下の3ケースを考えます。

(1) ケース1

• 長方形の電気定数は一定: ε_r=1, σ=0（空洞）
• 長方形以外の電気定数は一定: ε_r=4, σ=0

(2) ケース2

• 長方形の電気定数は右の範囲からランダムに選ぶ: ε_r=1～6, σ=0～0.03S/m
• 長方形以外の電気定数は一定: ε_r=4, σ=0

(3) ケース3

• 確率0.3で地下を2層に上下分割する、その深さは10～30セルからランダムに選ぶ、 上と下の電気定数は独立に右の範囲からランダムに選ぶ: ε_r=3～4, σ=0～0.01S/m
• 上下分割しないときの電気定数は右の範囲からランダムに選ぶ: ε_r=3～4, σ=0～0.01S/m
• 長方形の電気定数は右の範囲からランダムに選んで上書きする: ε_r=1～3, σ=0～0.01S/m

誘電率分布の不連続を緩和するために次式の5点平均化を1回行っています（導電率も同様）。
FDTD法では電気定数が不連続なYee格子点では両側の電気定数の平均値をとると計算精度が上がることが知られています。([1]p.39)

ε_r(i,j) ← {ε_r(i,j)+ε_r(i-1,j)+ε_r(i+1,j)+ε_r(i,j-1)+ε_r(i,j+1)}/5

図3-1に教師データの誘電率分布の一部を示します。 青→赤で誘電率が高くなることを表しています。
図(a)では地中と長方形の誘電率は一定です。
図(b)では地中の誘電率は一定、長方形の誘電率はランダムです。
図(c)では一定の割合で地下が2層に分割されていることと、 誘電率がランダムに設定されていることがわかります。
教師データから一定の割合（例えば80%）をランダムに選んで訓練データとし、 残りは検証のためのテストデータとします。

3.3 地中レーダー画像について

図3-2に6個の地中レーダー画像例を示します。
横軸は送信アンテナ位置、縦軸は受信波形の時間であり時間は上から下に進みます。
横方向のピクセル数は送信アンテナの数と同じ56であり、 縦方向のピクセル数はResNetを考慮して224としています。 送信アンテナからの直接波と地面からの反射波が経過した時間以降を取り出しています。
地中レーダー画像には地中の物体（誘電率の不連続）からの反射波による特徴的な双曲線が見られます。
その他、地中での電磁波の反射や散乱に起因する模様が見られます。 これらは地中の構造を反映しています。

3.4 パルス波形の比較

図3-3にパルス波形を変えたときの損失の収束状況を示します。
これから損失はパルス波形によってあまり変わらないことがわかります。
以下ではガウスパルスを考えます。

3.5 レーダー画像の変形

ResNetは画像サイズ224x224ピクセルのImageNet[8]向けに学習しているので、 画像サイズと縦横比がこれに近いほど精度がよいことが知られています。
図3-4に元の画像（56x224px）と変形した画像（112x112px）の損失の収束状況を示します。
両者の総ピクセル数は同じなので計算時間はほぼ同じです。
これから正方形画像（112x112px）のほうが損失が小さいことがわかります。
以下ではレーダー画像を112x112pxに変形したのちに学習を行います。 （PyTorchのtransforms.Resize関数を使用します）

3.6 ニューラルネットワークの比較

図3-5にResNet18/34/50の収束状況を示します。
これからResNet34が最も性能がよいことがわかります。 ResNet18/34/50の1エポック当たりの計算時間は順に3.4/6.0/8.9秒です。
以下ではResNet34を使用します。

3.7 ResNetの設定

図3-6にResNet34の「重みなし」と「重みあり」の収束状況を示します。
「重みあり」がわずかに性能がよいことがわかります。 以下では「重みあり」を使用します。前項までの結果も「重みあり」です。

3.8 誘電率分布と収束状況の関係

図3-7にケース1～3の損失の収束状況を示します。
これから誘電率分布が変わっても収束状況はほぼ同じであることがわかります。

3.9 誘電率分布の推定

図3-8にケース1～3のそれぞれ20個のデータの誘電率分布の推定結果を示します。
左が正解、右が推定値の2個1組のペアになっています。
すべてのデータについて場所、形、誘電率が正しく推定できていることがわかります。

3.10 データ数のスケール則

図3-9にデータ数を変えたときの収束状況を示します。
データ数が多いほど最終的な損失が小さいだけでなく収束も安定してかつ速いことがわかります。

図3-10にデータ数を変えたときの損失の最小値（図3-9の最小値）を示します。
データ数が多いほど損失が小さくなることがわかります。
データ数100000でも飽和しておらず、データ数をさらに増やすと性能が上がることが予想できます。 （スケール則）

3.11 最適化関数の比較

図3-11に最適化関数を変えた時の損失の収束状況を示します。
最適化関数を変えるにはソースコードdlgpr.pyを以下のように変更します。

optimizer = optim.Adam(model.parameters())

3.12 導電率分布の推定

図3-12に導電率分布の推定結果を示します。
地中の電気定数はε_r=4,σ=0、 長方形の電気定数はε_r=4, σ=0.1S/mです。
導電率のみが異なるために損失は導電率について計算しています。
図(b)から導電率が正しく推定できることがわかります。
地中レーダー画像は地中の誘電率と導電率の両方を反映しているために、 両方を推定すると地中の構造に関してより多くの情報が得られます。

3.13 導体の推定

導体は誘電体と比べて導電率が非常に大きくなります。
本プログラムではFDTD法の差分スキームに[1]の式(1.20c)を採用しているために、 導電率を大きくすると導体を表現することができます。
誘電体が導体とみなせる条件は以下のようになります。

　(3-1)

上式にε_r=1,Δ=0.025mを代入すると、導体とみなせる条件は、 σ>>0.150S/m(2D),0.184S/m(3D)となります。
図3-13(a)にσ=3S/mのときの電界分布の3例を示します。 導体内では完全導体と同じく電界が0となることがわかります。
図(b)に導電率の推定結果を示します。導体の位置と形が正しく推定できていることがわかります。

3.14 誘電体と導体の混在

図3-14に誘電体と導体が混在するときの導電率分布の推定結果を示します。
地中の電気定数はε_r=4,σ=0一定、 長方形の比誘電率はε_r=1一定とし, 導電率はσ=0～1S/mの範囲からランダムにとります。
図(b)において赤は導電率の大きい導体、青は導電率の小さい誘電体です。 どちらも正しく推定できることがわかります。
一般に中間の導電率の材質はないので学習の効率は悪いですが、 この方法でも導体と誘電体の両方を推定できることがわかります。

3.15 パルス波形の異なるデータの推論（汎化性能テスト1）

FDTD法を用いて教師データを作るときは、 送信パルス波形は地中レーダーの画像を取得するときの送信パルス波形に合わせたほうが望ましいが、 ここでは学習時のパルス波形と測定時のパルス波形が異なるときの影響を調べます。
表3-1に、誘電率分布としてケース1とケース2の2通り、 送信パルス波形としてガウスパルスと微分ガウスパルスの2通り、 合計4通りの組み合わせの損失を示します。
学習時と測定時の条件が一致する対角線上では損失が小さいですが、 それ以外のすべての組み合わせでは損失が大きいことがわかります。

上記の問題を解決するために、 ガウスパルスと微分ガウスパルスを半々にとった教師データから学習することを考えます。
表3-2に混合パルス波形で学習した結果を示します。
同一パルスで学習した結果から劣化しますが、 異なるパルスの結果もある程度正しく推論できることがわかります。
誘電率分布が学習時と測定時が異なるときの推論結果は表3-1と同程度に悪いことがわかります。

図3-15に誘電率分布が学習時と測定時が同じときの、 混合パルス波形の学習結果を示します（表3-2で色をつけた組み合わせ）。

3.16 学習データと異なる誘電率分布の推論（汎化性能テスト2）

学習データに使用する誘電率分布は、運用時の誘電率分布に近いことが大切です。
ケース1は地中と埋設物の誘電率が固定であり、 ケース2は地中の誘電率は固定であり埋設物の誘電率はランラムに変わります。 ケース2は特殊なケースとしてケース1を含んでいます。
学習時と推論時の誘電率が同じであればすでに述べたように正しく推論されます。
図3-16に学習時と推論時の誘電率が異なるときの推定結果を示します。
図(a)では比較的正しく推定され、図(b)では推定結果には大きな誤差があります。