数値ファントムはボクセル数=100x100x50、分解能=1mmですが、
このままではデータ量が多いので、分解能Dを大きくしています。
D3個のボクセルを合体して1個のセルとしています。
その誘電率は各ボクセルの誘電率の平均です。
FDTD法の計算条件は表4-1の通りです。
| パラメーター | 値 |
|---|---|
| セルサイズ（分解能） | D=Δx=Δy=Δz=5mm |
| 対象領域（内部領域）のセル数 | Mx=My=20, Mz=10 |
| 外部領域のセル数 | 4 |
| FDTD計算領域のセル数 | Nx=Ny=28, Nz=18 |
| アンテナ面数 | 2 (X面,Y面) |
| 送信アンテナの数 | Tx=42 |
| 受信アンテナの数 | Rx=42 |
| 周波数 | 2.0GHz |
| 送信アンテナの電界方向 | Z方向 |
| 受信アンテナの電界方向 | Z方向 |
| 給電波形 | 微分ガウスパルス |
| 吸収境界条件 | PML4層 |
| アンテナと内部領域境界の距離 | 2セル |
| タイムステップ数 | 300 |
| データ数 | 20000 |
深層学習の計算条件は表4-2の通りです。
| パラメーター | 値 |
|---|---|
| ネットワークモデル | ResNet18, 重みなし |
| 最適化関数 | Adam |
| 入力画素数 | 72x72ピクセル |
| エポック数 | 50 |
| ミニバッチサイズ | 60 |
| 訓練データの割合 | 80% |
| S行列成分 | 実部, 虚部 |
| 誘電率成分 | 実部, 虚部 |
| S行列差分 | あり |
| S行列正規化 | なし |
図4-1にアンテナ位置を示します。
送信アンテナを内部領域の外側の-X面と-Y面に置きます。
同じ個数の受信アンテナを反対側に置きます。
多数の教師データを作るためには多様な誘電体の集合が必要になります。
表4-3に誘電体のパラメーターと本章で用いた値を示します。
| パラメーター | 値 | 本章の値 |
|---|---|---|
| 誘電体の数 | 指定した範囲内でランダム | 10～10 |
| 誘電体の形状 | 指定した確率で直方体か楕円体 | 0.8 |
| 誘電体の位置 | ランダムただし半径50mm内に限定 | |
| 誘電体の大きさ | 指定した範囲内でランダム | 1～6セル |
| 誘電率と導電率の平滑化回数 | 固定 | 1 |
| 誘電体位置の平均化個数 | 指定した範囲内でランダム | 2～2 |
| 乳腺とがんの比 | 指定した確率でランダム | 9:1 |
図4-2に教師データの1つの誘電率分布を示します。
Z面でスライスした図を順に示しています。
誘電体は内部領域に置かれます。
青→赤で誘電率が高くなることを表しています。
乳腺とがん以外はすべて脂肪とします。
がんが赤、乳腺が黄、脂肪が青ですが、
ボクセルの合体と平滑化を行っているために中間色もあります。
赤点は送信アンテナ、緑点は受信アンテナです。
導電率分布も同様であり省略します。
図4-3(a)に3個のデータのS行列を示します。
送受信アンテナの位置関係に起因する共通の模様が見られ、
本来の誘電体による影響が小さくなります。
(b)は第1データを誘電体のない状態とし、
第2データ以降のS行列から第1データのS行列を（複素数として）引いたものです。
(b)では誘電体の差が強調されるので学習の精度が上がることが期待されます。
ただし、(b)でも模様は残ります。
(a) S行列の生データ
(b) 差分後のS行列
図4-4にS行列について、絶対値/複素数、差分あり/なしのときの損失を比較します。
図から、複素数をとったとき損失が小さくなりますが、差分の影響は小さいことがわかります。
以下では、差分あり複素数とします。
図4-5にネットワークの比較を示します。
ResNet18重みなし以外はほぼ同じです。
1エポック当たりの計算時間はResNet18/34で5.2/8.1秒です。
必要なネットワークの深さは問題の大きさと難しさによります。
以下では、ResNet18重みなしを使用します。
S行列の画素数はアンテナの数と一致します。
学習の前処理で画素数を変えることができます。
図4-6に画素数と損失の関係を示します。
画素数=112のみ少し損失が大きくなっています。
1エポック当たりの計算時間は画素数=42/72/112のとき4.4/5.2/7.3秒です。
画素数が小さいときは収束が不安定になることがあります。
必要な画素数は問題の大きさと難しさによります。
以下では、画素数=72ピクセルとします。
図4-7にデータ数を変えたときの収束状況を示します。
データ数が多いほど損失が小さくなることがわかります。
図4-8にデータ数を変えた時の損失の最小値（図4-7の最小値）を示します。
データ数が多いほど損失が小さくなることがわかります（スケーリング則）。
図4-9に3個の検証データの誘電率分布の推定結果を示します。
Z断面（全10面）をスライスした図であり、上下で正解と推定の2個1組のペアになっています。
複素比誘電率の絶対値を表示しています。
色のスケールは共通（|εr|=5～55）です。
上の黒数字は比誘電率の平均、下の赤数字は比誘電率推定誤差の平均です。
場所、形、誘電率がある程度の誤差内で推定できています。
(a) データ#1
(b) データ#2
(c) データ#3
数値ファントムの誘電率を推定します。これが最終的な目的です。
計算条件も表4-4のように変えます。表4-4にない項目は表4-1～表4-3と同じです。
| データ数 | 40000 |
| ネットワークモデル | ResNet34, 重みなし |
| 入力画素数 | 112x112ピクセル |
図4-10にテストデータcase1～3の誘電率分布の推定結果を示します。
上は正解、下は推定です。
「がん無」はがんをすべて乳腺に置き換えたものです。
各行は5mm間隔の全10面のZ断面です。
複素比誘電率の絶対値を表示しています。
色のスケールは共通（|εr|=5～55）です。図中の赤い所ががんです。
case1とcase2の推定ではがんがあるときにわずかに赤味が強くなっています。
case3の推定ではがんの有無は判定できません。
(a) case1 がん有
(b) case1 がん無
(c) case2 がん有
(d) case2 がん無
(e) case3 がん有
(f) case3 がん無
図4-11にテストデータcase1～3の誘電率分布の推定結果を示します。
すべてがん有であり、順にZ断面、X断面、Y断面です。上は正解、下は推定です。
各行は5mm間隔の全10面です。X面とY面については、乳腺とがんを通る中央付近を取り出しています。
Z面(a)(d)(g)は図4-10の(a)(c)(e)と同じものです。
(a) case1 Z面
(b) case1 X面
(c) case1 Y面
(d) case2 Z面
(e) case2 X面
(f) case2 Y面
(g) case3 Z面
(h) case3 X面
(i) case3 Y面
さらに性能を改善するには以下の方法が考えられます。