5. 計算例

5.1 アンテナ配置

アンテナの配置は図5-1の通りです。
±X面、±Y面、+Z面の5面に等間隔にアンテナを配置します。
隣接するアンテナ間の強い結合はオブジェクトに関する情報を含まない不要な情報なので、隣接するアンテナの偏波は互いに直交するようにしています。
原点からアンテナ面までの距離はRa=60mmとします。
アンテナの位置と偏波が収束に与える影響は付録Dで考察します。
アンテナ配置のX/Y/Z方向の分割数をnx/ny/nzとすると総アンテナ数Naは次式の通りです。

Na = (nx * ny) + (2 * nz) * (nx + ny)　(5-1)

5.2 ボクセルの合体

モーメント法は計算時間がかかるために、元の数値ファントムのボクセルを合体して一つのボクセルとしています。
合体する数をHとします。例えばH=6のときは、 6³=216個のボクセルの比誘電率と導電率の平均を合体したボクセルの値としています。

5.3 収束状況

計算を開始すると、最初に順問題を計算し、その後逆問題を反復計算します。

図5-2に逆問題の誤差の収束状況の一例を示します。
横軸は反復回数で、グラフの5本の線の意味は以下の通りです。
(1) ΔE/E : Sパラメーターの変化量と現在のSパラメーターの比
(2) Δε_r/ε_r : 比誘電率の変化量と現在の比誘電率の比
(3) Δσ/σ : 導電率の変化量と現在の導電率の比
(4) (ε_r-ε_r⁰)/ε_r⁰ : 比誘電率の真値との差と比誘電率の真値の比
(5) (σ-σ⁰)/σ⁰ : 導電率の真値との差と導電率の真値の比

収束判定条件は次式のように(2)と(3)が十分小さくなることとしています。

Δε_r/ε_r < 10^-4, Δσ/σ < 10^-4　(5-2)

図5-2からわかるように(2)と(3)が十分小さくなるとその他も同時に十分小さくなります。 (4)と(5)の真値は本来は逆問題では未知量なので使用することはできませんが、式(5-2)が収束判定条件として十分であることを裏付けています。

図5-3にコントラストの分布図の一例を示します。
3次元のボクセルを1次元に並べて、数値ファントム（合体後）と計算値を比較したものです。上が比誘電率、下が導電率です。
(a)は途中経過です。全体に誤差が見られます。図5-2からもわかるように比誘電率の方が比較的速く収束します。
(b)は収束した状態です。すべてのボクセルで比誘電率と導電率が数値ファントムに一致します。

5.4 計算環境

計算環境は以下の通りです。
なお、すべてのCPUコアを使用して並列計算されています。

MATLAB R2023a
OS : Windows 11 22H2 (64bit)
CPU : AMD Ryzen 7 4800H (8コア16スレッド, 2.9GHz, TB:4.2GHz, L2:4MB, L3:8MB)
メモリー : 8GBx2 (DDR4-3200)

5.5 計算条件

共通の計算条件は表5-1の通りです。

表5-1 共通計算条件
パラメーター	値
背景媒質	脂肪
容器媒質	脂肪
周波数	2.0GHz
アンテナ配置	5面（±X面、±Y面、+Z面）
アンテナ位置Ra	60mm
アンテナ偏波方向	交互配置
正則化パラメーターα	0.01
初期値因子c₀	3
収束判定条件	10^-4

表5-2に各ケースの計算条件と計算結果を示します。

表5-2 計算条件と計算結果（case1）
No.	ボクセル合体数 H	ボクセル総数 N (3N)	アンテナ配置数 (nx,ny,nz)	アンテナ総数 Na (Na²)	優決定度 Na²/3N	収束反復回数	計算時間 [秒]
1	10	240 (720)	(4,4,2)	48 (2304)	3.20	12	6
2	9	314 (942)	(4,4,2)	48 (2304)	2.45	16	13
3	8	460 (1380)	(4,4,2)	48 (2304)	1.67	94	153
4			(4,4,3)	64 (4096)	2.97	20	50
5			(5,5,2)	65 (4225)	3.06	21	54
6	7	680 (2040)	(4,4,3)	64 (4096)	2.01	49	275
7			(5,5,2)	65 (4225)	2.07	52	299
8			(5,5,3)	85 (7225)	3.54	28	229
9			(6,6,3)	108 (11664)	5.72	26	311
10	6	1071 (3213)	(5,5,3)	85 (7225)	2.25	80	1757
11			(6,6,3)	108 (11664)	3.63	45	1308
12			(6,6,4)	132 (17424)	5.42	36	1440
13			(7,7,4)	161 (25921)	8.07	33	1863
14	5	1824 (5472)	(7,7,4)	161 (25921)	4.74	145	23345
15	5	1824 (5472)	(8,8,4)	192 (36864)	6.74	156	36800

表5-2から以下のことがわかります。

ボクセル合体数Hが小さいほど（分解能が高いほど）多くのアンテナが必要になる。
一般に優決定度は2以上必要になる(Na²/3N > 2)。この数値はHが小さいほど高くなる傾向がある。 Sパラメーターは対称行列なので実際の自由度は半分になる。右辺の2はこれに起因していると思われる。
H一定の条件では、アンテナ数を増やすと収束が速くなるが、1回の計算時間は増えるので、最適のアンテナ数が存在する。
図5-4の通り、Hとそのとき一番短い計算時間はほぼHの10乗に反比例し、Hを小さくすると極端に計算時間が増える。（ボクセル数NはHの3乗に反比例し、計算時間はNの3乗に比例し、収束反復回数はほぼHに反比例するため）